Статистически модели в биатлона: биномно разпределение на пропуските
Available in US
Един колега ме попита веднъж: „Как точно моделираш броя пропуски в стрелка серия?“ Очаквах въпроса от години, защото това е разделящата линия между хора, които имат структуриран модел, и тези, които ползват интуиция. Отговорът е по-прост, отколкото изглежда – биатлонът се моделира чудесно с биномно разпределение, и това е инструмент, който всеки сериозен играч трябва да усвои.
Това не е статия за математици. Това е практическо ръководство как да приложите една стандартна статистическа формула към специфичните характеристики на биатлона. След като я разбирете, цялата стратегия се променя.
Биномно разпределение на изстрели
Биномното разпределение е статистическа функция, която описва вероятността за k успеха в n независими опита, всеки с фиксирана вероятност p. Звучи абстрактно. В контекста на биатлона е изключително конкретно.
Един изстрел в стрелкова серия е независим опит. Той има два възможни изхода – попадение или пропуск. Вероятността за попадение (p) е стрелковият процент на атлета в подобни условия.
Една стрелкова серия в спринт е 5 опита. Това означава, че броят пропуски в серия следва биномно разпределение с n = 5, p = (стрелков процент на атлета).
Пример: атлет с 88 на сто стрелков процент. p = 0,88, q = 0,12. Вероятност за 0 пропуска в серия = 0,88^5 = 0,528 (52,8 на сто). Вероятност за точно 1 пропуск = 5 × 0,88^4 × 0,12 = 0,360 (36 на сто). За 2 пропуска = 10 × 0,88^3 × 0,12^2 = 0,098 (9,8 на сто). За 3+ пропуска = 0,014 (1,4 на сто).
Това разпределение е важно за моделирането. То показва, че дори отличен стрелец (88 на сто) пропуска поне веднъж в около 47 на сто от серии. И че два пропуска не са изключение – се случват в 10 на сто от серии.
За цяло състезание модел се изгражда чрез умножение на разпределенията за всяка серия. Спринт има 2 серии. Преследване – 4. Мас-старт – 4. Индивидуално – 4. Очакваният брой пропуски за цяло състезание е n × (1-p), където n е общият брой изстрели.
Pre-match: какво моделираме
Тук влиза практическата страна. Какво точно изчисляваме за един биатлон pre-match залог?
Първо: очакван брой пропуски на атлет. Сприм с 10 общо изстрела × (1 – 0,88) = 1,2 очаквани пропуска. Разпределението около това число е биномно – атлетът може да има 0, 1, 2 или повече пропуски, с различни вероятности.
Второ: очаквано време на ски. Това е независима оценка на физическата форма, метеорологичните условия, технически фактори. Тук моделът е по-сложен – може да се ползва Гаусово разпределение около очакваната средна стойност с фиксирано отклонение.
Трето: комбинация на двете в очаквано общо време. Време на ски + наказателни секунди (60 секунди за индивидуално, или 23 секунди наказателен кръг × брой пропуски за спринт). Резултатът е разпределение на очаквани крайни времена.
Четвърто: сравнение между всички атлети. От разпределенията на всеки атлет се изчислява вероятност за топ-1, топ-3, топ-10 и т.н. Това става чрез симулация (Монте Карло) – стартирате 10 000 виртуални състезания, и пресмятате колко пъти всеки атлет завършва на топ-3.
Този подход дава количествени, не качествени оценки. „Вярвам, че X ще спечели“ не е модел. „Вероятността X да завърши в топ-3 е 23 на сто“ е модел.
Корекции за условия
Биномният модел в чист вид има предположение, което не е винаги вярно – че стрелковият процент на атлета е постоянен. Реално той варира със:
Първо: метеорологичните условия. Вятър над 3 m/s намалява процента с 5-10 процентни пункта. Това трябва да се отчете в p за конкретното състезание.
Второ: позицията (легнал срещу прав). Един и същи атлет има 5-6 процентни пункта по-добър процент в легнал. За дисциплини с повече прав стрелба (преследване, мас-старт – 2 легнал + 2 прав) трябва да се модели всяка позиция отделно.
Трето: умора. След 8-километрова дистанция в спринт стрелбата е малко по-точна. След 15 километра в индивидуално стрелбата падна. Това е малко, но измеримо отклонение.
Четвърто: натиск. На СП и Олимпиади стрелковите проценти често падат с 3-5 процентни пункта спрямо обикновени етапи от Световна купа. Това е резултат от психологически натиск.
Пето: индивидуални предпочитания. Някои атлети имат стрелкова форма която се изменя сезон на сезон. Анализирайте последните 8-10 серии, не цялата кариера.
За мен корекциите за условия са по-важни от самата биномна формула. Те правят разликата между груб модел и точен модел.
Симулация на цялото състезание
Финалната стъпка е симулация на цялото състезание, която обединява всичко.
Аз ползвам Python скрипт, написан в първите ми години в дисциплината. Логиката е проста: за всеки от топ-30 атлетите имам разпределение на стрелковите проценти за легнал и прав, разпределение на времето на ски, и фактор за условията. Скриптът симулира 10 000 виртуални състезания и записва крайното класиране във всяко.
След това изчислява вероятностите: колко пъти атлет X е победил, колко пъти е бил в топ-3, в топ-10, и т.н. Тези вероятности са моите оценки за пазарите.
Това звучи сложно, но не е. Самият скрипт е 200-300 реда код. Тежката работа е събирането и поддържането на данните – стрелкови проценти, времена, корекции за условия. Аз водя Excel база, която обновявам след всяко състезание, и Python скриптът просто чете от тази база.
Резултатите никога не са перфектни. Моделът има грешка – обикновено около 5-8 процентни пункта спрямо реалните дългосрочни вероятности. Това е защо приложвам прага от 8 на сто разлика между моя модел и пазара – за да изключа моя собствена грешка.
Тук е красотата на статистическия подход: дори с несъвършен модел, ако имам систематична грешка под маржа на букмейкъра, в дългосрочна перспектива печеля. Това не значи, че всеки сезон печеля. Това значи, че в 5-10 годишен период траекторията е позитивна.
За пълно разбиране на тази дългосрочна логика и нейните граници, прочетете свързаната статия за стойностните залози в биатлона.
Какво е биномно разпределение в контекста на биатлона?
Биномното разпределение описва вероятността за k успеха в n независими опита с фиксирана вероятност p. В биатлона един изстрел е независим опит с два възможни изхода – попадение или пропуск. Стрелкова серия в спринт е 5 опита. Атлет с 88 на сто стрелков процент има вероятност 52,8 на сто за 0 пропуска, 36 на сто за 1 пропуск, 9,8 на сто за 2 пропуска и 1,4 на сто за 3+ пропуска. Това е базовата формула, но в реалност изисква корекции за условия (вятър, позиция легнал/прав, умора, натиск).
Каква е разликата между груб и точен модел?
Грубият модел приема, че стрелковият процент на атлета е постоянен във всички условия. Точният модел отчита, че този процент варира със – вятъра (-5 до -10 процентни пункта при над 3 m/s), позицията (прав е 5-6 процентни пункта по-нисък от легнал), умората (стрелковият процент пада в края на дълги състезания), натиска на големи събития (СП, Олимпиади). Тези корекции правят разликата между модел с грешка от 10 на сто и модел с грешка от 5 на сто – което е разликата между губещ и печеливш дългосрочен играч.
Изготвено от редакцията на „Биатлон Букмейкър”.
